Независимые и взаимоисключающие мероприятия

Независимость и взаимоисключаемость неозначают одно и то же.

Независимые события

Два события являются независимыми, если выполняются следующие условия:

  • Р ( А | В ) = Р ( А )
  • P ( B | A ) = P ( B )
  • Р ( А И В ) = Р ( А ) Р ( В )

Два события A и B независимы, если знание того, что произошло одно, не влияет на вероятность возникновения другого. Например, результаты двух ролей справедливого кубика являются независимыми событиями. Результат первого броска не влияет на вероятность результата второго броска. Чтобы показать, что два события независимы, вы должны показать только одноиз вышеуказанных условий. Если два события НЕ независимы, мы говорим, что они зависимы.

Отбор проб может производиться сзаменой или без замены.

  • С заменой: если каждый член популяции заменяется после того, как он был выбран, то этот член может быть выбран более одного раза. Когда выборка выполняется с заменой, события считаются независимыми, то есть результат первого выбора не изменит вероятности второго выбора.
  • Без замены: когда выборка проводится без замены, каждый член генеральной совокупности может быть выбран только один раз. В этом случае вероятность второго выбора зависит от результата первого выбора. События считаются зависимыми или несамостоятельными.

Если неизвестно, являются ли A и B независимыми или зависимыми, предполагайте, что они зависимы, пока вы не покажете обратное.

У вас есть честная, хорошо перемешанная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти - это трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти 13 карт, состоящих из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама), K (король) этой масти.

а. Выборка с заменой:

предположим, вы выбрали три карты с заменой. Первой карты вы выбираете из 52 карт является Q лопат. Вы кладете эту карту обратно, перетасовываете карты и выбираете вторую карту из колоды из 52 карт. Это десятка треф. Вы кладете эту карту обратно, перетасовываете карты и выбираете третью карту из колоды из 52 карт. На этот раз карта снова представляет собой Q пик. Ваш выбор: < Q пик, десятка треф, Q пик>. Вы дважды выбрали Q пик. Вы выбираете каждую карту из колоды из 52 карт.

б. Выборка без замены:

предположим, вы выбрали три карты без замены. Первая карта, которую вы выбираете из 52 карт, - это K червей. Вы откладываете эту карту в сторону и берете вторую карту из 51 карты, оставшейся в колоде. Это тройка бубен. Вы откладываете эту карту в сторону и берете третью карту из оставшихся 50 карт в колоде. Третья карта - J пик. Ваш выбор: < K червей, тройка бубен, J пик>. Поскольку вы выбрали карты без замены, вы не можете выбрать одну и ту же карту дважды.

У вас есть честная, хорошо перемешанная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти - это трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти 13 карт, состоящих из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама), K (король) этой масти. Случайно выбираются три карты.

  1. Предположим, вы знаете, что выбраны Q пик, K червей и Q пик. Можете ли вы решить, с заменой или без замены?
  2. Предположим, вы знаете, что выбранные карты - это Q пик, K червей и J пик. Можете ли вы решить, с заменой или без замены?

У вас есть честная, хорошо перемешанная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти - это трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти 13 карт, состоящих из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама) и K (король) этой масти. S = пики, H = червы, D = бубны, C = трефы.

  1. Предположим, вы выбрали четыре карты, но не кладете обратно в колоду. Ваши карты: QS , 1 D , 1 C , QD .
  2. Предположим, вы выбираете четыре карты и кладете каждую карту обратно перед тем, как выбрать следующую карту. Ваши карты: KH , 7 D , 6 D , KH .

Какой из. или б. вы пробовали с заменой, а какой - без замены?

а. Без замены; б. С заменой

У вас есть честная, хорошо перемешанная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти - это трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти 13 карт, состоящих из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама) и K (король) этой масти. S = пики, H = червы, D = бубны, C = трефы. Предположим, вы выбрали четыре карты без замены. Какие из следующих результатов возможны? Ответьте на этот же вопрос по выборке с заменой.

  1. QS , 1 D , 1 C , QD
  2. КХ , 7 Д , 6 Д , КХ
  3. QS , 7 D , 6 D , KS

Взаимоисключающие события

События A и B являются взаимоисключающими, если они не могут происходить одновременно. Это означает, что A и B не имеют общих результатов и P ( A AND B ) = 0.

Например, предположим, что пространство выборки S = . Пусть A = , B = и C = . А И В = . P ( A AND B ) = и не равно нулю. Следовательно, A и B не исключают друг друга. У A и C нет общих чисел, поэтому P ( A AND C ) = 0. Следовательно, A и C взаимно исключают друг друга.

Если неизвестно, являются ли A и B взаимоисключающими, предположим, что это не так, пока вы не докажете обратное. Следующие ниже примеры иллюстрируют эти определения и термины.

Подбросьте две честные монеты. (Это эксперимент.)

Примерное пространство: < HH , HT , TH , TT >, где T = решка, а H = голова. Результатами являются HH , HT , TH и TT . Результаты HT и TH различны. В HT означает , что первая монета показала головы и вторая монета показала хвосты. В TH означает , что первая монета показала хвосты и вторая монета показала головы.

  • Пусть A = событие получения не более одного хвоста. (Максимум один хвост означает ноль или один хвост.) Тогда A можно записать как < HH , HT , TH >. Результат HH показывает нулевые решки. HT и TH показывают по одному хвосту.
  • Пусть B = событие получения всех решек. B можно записать как < TT >. B является дополнениемк A , поэтому B = A ′ . Кроме того, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A ′ ) = 1.
  • Вероятности для A и для B равны P ( A ) = и P ( B ) =.
  • Пусть C = событие получения всех орлов. С = < ЧЧ >. Поскольку B = < TT >, P ( B AND C ) = 0. B и C являются взаимоисключающими. (У B и C нет общих членов, потому что вы не можете иметь все решки и все решки одновременно.)
  • Пусть D = событие получения более одногохвоста. D = < TT >. P ( D ) =
  • Пусть E = событие выпадения головы при первом броске. (Это означает, что вы можете получить либо голову, либо хвост во втором броске.) E = < HT , HH >. P ( E ) =
  • Найдите вероятность получить хотя бы один(один или два) хвоста за два броска. Пусть F = случай получения хотя бы одного хвоста за два подбрасывания. F = < HT , TH , TT >. P ( F ) =

Возьмите две карты из стандартной колоды из 52 карт с заменой. Найдите вероятность получить хотя бы одну черную карту.

Подбросьте две честные монеты. Найдите вероятности событий.

  1. Пусть F = событие получения не более одного хвоста (нуля или одного хвоста).
  2. Пусть G = событие получения двух одинаковых лиц.
  3. Пусть H = событие, когда голова при первом подбрасывании, а затем голова или хвост при втором подбрасывании.
  4. Являются ли F и G взаимоисключающими?
  5. Пусть J = событие получения всех решек. Являются ли J и H взаимоисключающими?

Посмотрите на образец пространства на (Рисунок).

  1. Ноль (0) или одна (1) решка выпадают, когда выпадают результаты HH , TH , HT . P ( F ) =
  2. Два лица одинаковы, если появляются HH или TT . P ( G ) =
  3. Голова при первом подбрасывании, за которой следует голова или хвост при втором подбрасывании, происходит, когда появляются HH или HT . P ( H ) =
  4. F и G разделяют HH, поэтому P ( F AND G ) не равно нулю (0). F и G не исключают друг друга.
  5. Выпадение всех решек происходит, когда решки выпадают на обеих монетах ( TT ). Результаты H - HH и HT .

J и H не имеют ничего общего, поэтому P ( J AND H ) = 0. J и H исключают друг друга.

В коробке два шара, белый и красный. Выбираем один шар, кладем обратно в коробку и выбираем второй шар (выборка с заменой). Найдите вероятность следующих событий:

  1. Пусть F = случай получения белого шара дважды.
  2. Пусть G = событие получения двух шаров разного цвета.
  3. Пусть H = событие получения белого цвета при первом пике.
  4. Являются ли F и G взаимоисключающими?
  5. Являются ли G и H взаимоисключающими?

Бросьте один честный шестигранный кубик. Пространство выборки: . Пусть событие A = лицо нечетное. Тогда A = . Пусть событие B = лицо четное. Тогда B = .

  • Найдите дополнение к A , A ′ . Дополнение A , A ' , есть B, потому что A и B вместе составляют пространство выборки. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A ′ ) = 1. Также P ( A ) = и P ( B ) =.
  • Пусть событие C = нечетные грани больше двух. Тогда C = . Пусть событие D = все четные грани меньше пяти. Тогда D = . P ( C AND D ) = 0, потому что у вас не может быть четного и нечетного лица одновременно. Следовательно, C и D - взаимоисключающие события.
  • Пусть событие E = все лица меньше пяти. E = .

Являются ли события C и E взаимоисключающими? (Ответьте «да» или «нет».) Почему или почему нет?

  • Найдите P ( C | A ). Это условная вероятность. Напомним, что событие C - , а событие A - . Чтобы найти P ( C | A ), найти вероятность С помощью выборочного пространства A . Вы уменьшили пространство выборки с исходного пространства выборки до . Итак, P ( C | A ) =.

Пусть событие A = изучение испанского языка. Пусть событие B = изучение немецкого языка. Тогда А И Б = изучение испанского и немецкого языков. Предположим, что P ( A ) = 0,4 и P ( B ) = 0,2. Р ( А И В ) = 0,08. Независимы ли события A и B ? Подсказка: вы должны показать ОДИН из следующего:

  • Р ( А | В ) = Р ( А )
  • P ( B | A ) = P ( B )
  • Р ( А И В ) = Р ( А ) Р ( В )

Пусть событие G = занятие математическим классом. Пусть событие H = занятие научным классом. Затем G AND H = уроки математики и естествознания. Предположим, что P ( G ) = 0,6, P ( H ) = 0,5 и P ( G AND H ) = 0,3. Независимы ли G и H ?

Если G и H независимы, вы должны показать ОДНОиз следующего:

  • P ( G | H ) = P ( G )
  • P ( H | G ) = P ( H )
  • P ( G И H ) = P ( G ) P ( H )

Ваш выбор зависит от имеющейся у вас информации.Вы можете выбрать здесь любой из способов, потому что у вас есть необходимая информация.

Поскольку G и H независимы, знание того, что человек посещает урок естествознания, не меняет шансов, что он или она посещает урок математики. Если бы эти два события не были независимыми (то есть они были зависимыми), то знание того, что человек посещает урок естествознания, изменило бы шанс, что он или она будет изучать математику. Для практики покажите, что P ( H | G ) = P ( H ), чтобы показать, что G и H являются независимыми событиями.

В сумке шесть красных шариков и четыре зеленых шарика. Красные шарики отмечены числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Зеленые шарики отмечены числами 1, 2, 3 и 4.

  • R = красный мрамор
  • G = зеленый мрамор
  • O = мрамор с нечетным номером
  • Примерное пространство S = < R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, G 1, G 2, G 3, G 4>.

Пусть событие C = занятия английским языком. Пусть событие D = взятие речевого класса.

Обоснуйте свои ответы на следующие вопросы численно.

  1. Независимы ли C и D ?
  2. Являются ли C и D взаимоисключающими?
  3. Что такое P ( D | C )?
  1. Да, потому что P ( C | D ) = P ( C ).
  2. Нет, потому что P ( C AND D ) не равно нулю.
  3. P ( D | C ) = = = 0,3

Студент идет в библиотеку. Пусть события B = студент извлекает книгу, а D = студент извлекает DVD. Предположим, что P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 и P ( B AND D ) = 0,20.

  1. Найдите P ( B | D ).
  2. Найдите P ( D | B ).
  3. Независимы ли B и D ?
  4. Являются ли B и D взаимоисключающими?

В коробке три красных карточки и пять синих карточек. Красные карты отмечены числами 1, 2 и 3, а синие карты отмечены числами 1, 2, 3, 4 и 5. Карты хорошо перемешаны. Вы лезете в коробку (вы не можете ее видеть) и берете одну карту.

Пусть R = вытягивается красная карта, B = вытягивается синяя карта, E = вытягивается четная карта.

  • P ( R ) =. P ( B ) =. P ( R AND B ) = 0. (Вы не можете взять одну карту, которая одновременно является красной и синей.)
  • P ( E ) =. (Есть три четные карты: R 2, B 2 и B 4.)
  • P ( E | B ) =. (Есть пять синих карт: B 1, B 2, B 3, B 4 и B 5. Из синих карт есть две четные карты: B 2 и B 4.)
  • P ( B | E ) =. (Есть три четные карты: R 2, B 2 и B 4. Из четных карт до синие; B 2 и B 4.)
  • События R и B являются взаимоисключающими, поскольку P ( R AND B ) = 0.
  • Пусть G = карта с номером больше 3. G = < B 4, B 5>. P ( G ) =. Пусть H = синяя карта с номерами от одного до четырех включительно. H = < B 1, B 2, B 3, B 4>. P ( G | H ) =. (Единственная карта в H , у которой номер больше трех, - это B 4.) Поскольку =, P ( G ) = P ( G | H ), что означает, чтоG и H независимы.

На баскетбольной арене,

  • 70% болельщиков болеют за хозяев поля.
  • 25% фанатов одеты в синее.
  • 20% болельщиков носят синюю одежду и болеют за команду гостей.
  • 67% болельщиков, болеющих за гости, носят синюю одежду.

Пусть A будет событием, когда болельщик болеет за команду гостей.

Пусть B будет событием, когда фанат носит синее.

Являются ли события болельщика за гостевую команду и ношения синего цвета независимыми? Являются ли они взаимоисключающими?

В конкретном классе колледжа 60% студентов - девушки. Пятьдесят процентов всех учеников в классе имеют длинные волосы. Сорок пять процентов студентов - девушки с длинными волосами. 75% студенток имеют длинные волосы. Пусть F будет событием, когда студент женского пола. Пусть L будет событием, что у студента длинные волосы. Один студент выбирается случайным образом. Являются ли события женщиной и длинными волосами независимыми?

  • В этом примере приведены следующие вероятности:
  • P ( F ) = 0,60; P ( L ) = 0,50
  • P ( F И L ) = 0,45
  • P ( L | F ) = 0,75

Ваш выбор зависит от имеющейся у вас информации.В этом примере вы можете использовать первое или последнее условие в списке. Вы еще не знаете P ( F | L ), поэтому вы не можете использовать второе условие.

Решение 1 Убедитесь, что P ( F AND L ) = P ( F ) P ( L ). Нам дано, что P ( F AND L ) = 0,45, но P ( F ) P ( L ) = (0,60) (0,50) = 0,30. Быть женщиной и иметь длинные волосы не являются независимыми, потому что P ( F AND L ) не равно P ( F ) P ( L ).

Решение 2 Проверьте, равно ли P ( L | F ) P ( L ). Нам дано, что P ( L | F ) = 0,75, но P ( L ) = 0,50; они не равны. Быть женщиной и иметь длинные волосы не являются независимыми.

Интерпретация результатов. Быть женщиной и иметь длинные волосы не являются независимыми; знание того, что студент - женщина, меняет вероятность того, что у студента длинные волосы.

Марк решает, по какому маршруту идти на работу. Его выбор: I = Автомагистраль между штатами и F = Пятая улица.

  • P ( I ) = 0,44 и P ( F ) = 0,56
  • P ( I AND F ) = 0, потому что Марк будет работать только по одному маршруту.

Какова вероятность P ( I OR F )?

  1. Подбросьте одну честную монету (у монеты две стороны, H и T ). Результаты ________. Подсчитайте результаты. Есть ____ результатов.
  2. Бросьте один хороший шестигранный кубик (на стороне кубика 1, 2, 3, 4, 5 или 6 точек). Результаты ________________. Подсчитайте результаты. Есть ___ результатов.
  3. Умножьте два числа результатов. Ответ _______.
  4. Если вы подбросите одну честную монету и после нее бросите один правильный шестигранный кубик, ответ в части c. - количество исходов (размер пространства выборки). Каковы результаты? (Подсказка: два результата - H 1 и T 6.)
  5. Событие A = орел ( H ) на монете, за которым следует четное число (2, 4, 6) на кубике.

    А = . Найдите P ( A ).
  6. Событие B = орел на монете, за которым следует тройка на кубике. B = . Найдите P ( B ).
  7. Являются ли A и B взаимоисключающими? (Подсказка: что такое P ( A AND B )? Если P ( A AND B ) = 0, то A и B являются взаимоисключающими.)
  8. Независимы ли A и B ? (Подсказка: P ( A AND B ) = P ( A ) P ( B )? Если P ( A AND B ) = P ( A ) P ( B ), то A и B независимы. Если нет, то они зависимый).
  1. H и T ; 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
  3. 2 (6) = 12
  4. Т 1, Т 2, Т 3, Т 4, Т 5, Т 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6
  5. А = < H 2, H 4, H 6>; P ( A ) =
  6. B = < H 3>; P ( B ) =
  7. Да, потому что P ( A AND B ) = 0
  8. P ( A И B ) = 0. P ( A ) P ( B ) =. P ( A AND B ) не равно P ( A ) P ( B ), поэтому A и B зависимы.

В коробке два шара, белый и красный. Выбираем один шар, кладем обратно в коробку и выбираем второй шар (выборка с заменой). Пусть T - это событие, когда белый шар достается дважды, F - событие, когда первым выбирается белый шар, S - событие, когда белый шар выбирается во втором розыгрыше.

  1. Вычислить P ( T ).
  2. Вычислить P ( T | F ).
  3. Независимы ли T и F ?.
  4. Являются ли F и S взаимоисключающими?
  5. Независимы ли F и S ?

использованная литература

Лопес, Шейн, Прити Сидху. «Учителя в США любят свою жизнь, но борются на работе». Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Данные Gallup. Доступно на сайте www.gallup.com/ (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Обзор главы

Два события A и B независимы, если знание того, что произошло одно, не влияет на вероятность возникновения другого. Если два события не являются независимыми, мы говорим, что они зависимы.

При выборке с заменой каждый член генеральной совокупности заменяется после того, как он выбран, так что этот член имеет возможность быть выбранным более одного раза, а события считаются независимыми. При выборке без замены каждый член популяции может быть выбран только один раз, и события не считаются независимыми. Когда события не имеют общих результатов, они исключают друг друга.